第二讲 数数与计数

　　从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．
　　例1 数一数，下面图形中有多少个点？

　　解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．

　　点的总数是：
　　5+5+5+5=5×4．
　　方法2：从左至右一列一列地数，见下图．

　　点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．
　　因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：
　　5×4=4×5
　　从这个等式中，我们不难发现这样的事实：
　　两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．
　　这就是乘法交换律．
　　正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：
　　两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
　　如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．
　　方法3：分成两块数，见右图．

　　前一块4行，每行3个点，共3×4个点．
　　后一块4行，每行2个点，共2×4个点．
　　两块的总点数=3×4+2×4．
　　因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：
　　3×4+2×4=5×4．
　　仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：
　　3+2=5
　　所以上面的等式可以写成：
　　3×4+2×4=（3+2）×4
　　也可以把这个等式调过头来写成：
　　（3+2）×4=3×4+2×4．
　　这就是乘法对加法的分配律．
　　如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：
　　（a+b）×c=a×c+b×c
　　分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．
　　进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：
　　计算（3-2）×4和3×4-2×4．
　　解：（3-2）×4=1×4=4
　　3×4-2×4=12-8=4．
　　两式的计算结果都是4，从而可知：
　　（3-2）×4=3×4-2×4
　　这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．
　　如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．
　　正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．
　　例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．
　　第一层 4×2个
　　第二层 4×2个
　　第三层 4×2个
　　三层小长方体的总个数（4×2）×3个．
　　方法2：从左至右一排一排地数，见下图．

　　第一排 2×3个
　　第二排 2×3个
　　第三排 2×3个
　　第四排 2×3个
　　四排小长方体的总个数为（2×3）×4．
　　若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．
　　因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．
　　这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．
　　或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．
　　如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．
　　巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．
　　从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．
　　例3 数一数，下图中有多少个点？

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．

　　总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
　　方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：
　　三角形点数=长方形点数÷2
　　因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9
　　而长方形点数=10×9=（1+9）×9
　　代入上面的文字公式可得：
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9
　　=（1+9）×9÷2=45．

　　进一步把两种方法联系起来看：
　　方法1是老老实实地直接数数．
　　方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．
　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9
　　=（1+9）×9÷2．
　　这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．
　　再进一步，若脱离开图形（点群）的背景，纯粹从数的方面找规律，不难发现下述事实：

　　这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言来表述：
　　从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．或是写成下面的文字式：
　　和=（首项+末项）×项数÷2
　　这个文字式通常又叫做等差数列求和公式．
　　例4 数一数，下图中有多少个点？

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：

　　总点数=2+3+4+5+6=20．
　　方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图一起拼成一个长方形点群如下图所示：

　　由图可见，有下列等式成立：
　　梯形点数=长方形点数÷2．
　　因为梯形点数=2+3+4+5+6
　　而长方形点数=8×5=（2+6）×5
　　代入上面的文字式，可得：
　　2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2
　　与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点数的较为简单的公式．
　　再进一步，若脱离开图形（点群）的背景纯粹从数的方面找找规律，不难发现下述事实：

　　这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它的首项是2，末项是6，公差是1，项数是5．这样这个等式的含义就可以用下面的语言来表述：
　　等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．
　　写成下面较简化的文字式：
　　和=（首项+末项）×项数÷2
　　这就是等差数列的求和公式．
　　例5 数一数，下图中有多少个小三角形？

　　解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．

　　小三角形总数=1+3+5+7=16个．
　　方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示．

　　显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所包含的小三角形个数的两倍，即下式成立．
　　大三角形中所含=平行四边形所含÷2
　　平行四边形所含=8×4=（1+7）×4（个）
　　大三角形中所含=1+3+5+7=16
　　代入上述文字式：
　　1+3+5+7＝（1+7）×4÷2
　　这样，我们就得到了一个公式：
　　小三角形个数=（第一层的数+最末层的数）×层数÷2
　　脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难发现下述事实：

　　等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末项是7，公差是2，项数是4．这样这个等式的含义也就可以用下面的语言来表述：
　　等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半．
　　写成较简单的文字式：
　　和=（首项+末项）×项数÷2．

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