习题四

　　1．在3×5的方格表中共有多少个正方形？共有多少个
　　2．在例5中，是否从任意一个（不是右下角的）白房间出发，都能走遍各个房间后从右下角出来？
　　3．在例 7中，如果挖去一个“×”格，剩下的方格表是否总能用8个L形完全盖住？
　　4．①在4×4的方格表中的任意5个格中各放一枚棋子，是否总可选出2行2列，使这5个棋子都在这2行2列中？如果放6个棋子（每个棋子占一格），结果如何？放7个棋子，结果如何？
　　②在6×6的方格表中最多放几个棋子（每个棋子占一格），不论如何放，使得总能选出3行3列，使这些棋子都在这3行3列中？
　　5．在4×4的方格表中除一格写上“—”外，其余都写上“+”．现允许任选一行，或一列，或一条平行于对角线的斜线（特殊情况，可以是角上一格，或整条对角线），将它们每格中符号变成相反的．不断施行这种变换，是否能使整个方格表的所有格内都是“+”号？
　　若改为5×5的方格表，结论如何？

习题四解答

　　
　　1．在此方格表中，1×1的正方形共15个，2×2的正方形共8个，3×3的正方形共 3个，因此共有正方形 26个．在此方格表中共有2×3

　　2．能．由对称性，仅需按出发点的位置分5种情况考虑．如图．出发点分别在1、2、3、4、5时，都能走遍各个房间后从右下角走来（含阴影的房间）．

　　3．能．如下图，分三种情况考虑．

　　4．①若共5个棋子，那么总有一列含2个（或2个以上的）棋子，选出此列后，至多还剩3个棋子，总能使它们在另外一列及两行中；若共6个棋子，则按每列的棋子个数从大到小排列，选出棋子最多的两列，最多还剩下2个棋子（若还剩下3个或3个以上棋子，那么剩下的两列中有一列含2个棋子，而选出的两列中却有一列仅一个棋子，这是不可能的），至多在两行内；若共7个棋子，则不一定能使它们都在某2行及2列内，如图中任2行2列都不能包含这所有的7个棋子．

　　②最多放9个棋子．
　　5．对于4×4的方格表，如果“-”号在角上或中部，则都可通过题没变换将整个方格表变为全“+”（“-”在角上显然，“-”在中部，则如下图）：

　　如果“-”在边上而不在角上，则无论如何变换，都不可能变成全“+”．如图，边上8格涂黑色，通过每一步变换，这8个黑格中的符号总是改变偶数个（0个或2个）．当开始的“-”在这黑格内时，黑格内含“-”的格数为奇数，这样，无论怎样变换，黑格中含“-”的格数永远是奇数，不可能消失．

　　对于5×5的方格表，当“-”不在角上或中央时，通过变换不能把“-”都去掉．因为对于这样的一个“-”号，总还可以在 5×5的方格表中划出一个 4×4的表，使这个“-”号位于这个4×4表的边上且不在角上，于是由前述理由可知无论怎样变换都不能使“-”号都消失．

继续支持没话说~ 楼主真强


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