小学数学 竞赛辅导四年级上学期第四讲 等差数列及其应用

第四讲 等差数列及其应用

　　许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.

一、等差数列

　　什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：
　　①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…
　　②1，3，5，7，9，11，13.
　　③ 2，4，6，8，10，12，14…
　　④ 3，6，9，12，15，18，21.
　　⑤100，95，90，85，80，75，70.
　　⑥20，18，16，14，12，10，8.
　　这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：
　　数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；
　　数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；
　　数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；
　　数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.
　　例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.
　　①6，10，14，18，22，…，98；
　　②1，2，1，2，3，4，5，6；
　　③ 1，2，4，8，16，32，64；
　　④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
　　⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
　　⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
　　解：①是，公差d=4.
　　②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.
　　③不是，因为4-2≠2-1.
　　④是，公差d=l.
　　⑤是，公差d=0.
　　⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.
　　一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.
　　为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.

二、通项公式

　　对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1；小于a2，则
　　
　　由此可知： (1)
　　若a1；大于a2，则同理可推得：
　　(2)
　　公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.
例2 求等差数列1，6，11，16…的第20项.
　　解：首项a1 =1，又因为a2；大于a1；，
　　公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：
　　第20项a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96.
　　一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：
　　
例3 已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？
　　解：首项a1=2，公差d=5-2=3
　　令an=47
　　则利用项数公式可得：
　　n=（47-2）÷3+1=16.
　　即47是第16项.
例4 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
　　分析与解答
　　方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.
　　因为a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d，
　　所以d=6 a1=21-3×d=3，
　　所以 a8=3+7×6=45.
　　方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6已知，只要求2×d即可.
　　又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，
　　所以 2×d=a6-a4
　　所以a8=3+7×6=45
　　方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.

三、等差数列求和

　　若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为
　　a1,a1+d,a1+d×2，…，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2
　　=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.
　　设 Sn=a1+a2+a3+…+an
　　则 Sn=an+an-1+an-2+…+a1
　　两式相加可得：
　　2×Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+…+(an+a1)
　　即：2×Sn=n×（a1+an）,所以，
　　
　　例5 计算 1+5+9+13+17+…+1993.
　　当a1；大于a2。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.
　　解：因为1，5，9，13，17，…，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993.
　　所以，n=（an－a1）÷d+1=499.
　　所以，1+5+9+13+17+…+1993
　　=（1+1993）×499÷2
　　=997×499
　　=497503.
　　题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：
　　
　　这个定理称为中项定理.
例6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

　　解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道，这是一个等差数列.
　　方法1：
　　a1=2， d=4， an=2106，
　　贝n=（an-a1）÷d+1=527
　　这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）×4=1054.
　　方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.
　　则中间一项为（a1+an）÷2=1054
　　a1=2， d=4， an=2106，
　　这堆砖共有 1054×527=555458（块）.
　　n=（an-a1）÷d+1=527
例7 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
　　解：根据题意可列出算式：
　　（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999）
　　解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：
　　原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2
　　=1000.
　　解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即
　　原式=1000×1=1000.
例8 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
　　分析与解答
　　方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.
　　因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这九个自然数的中间数为54÷9=6，则末项为6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）×9÷2=126.
　　方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8，因此，后一组自然数的和应为54+8×9=126.
　　在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a1+an）×n÷2，则 a1+a9=54×2÷9.又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.
例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？
　　分析与解答
　　方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.
　　100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：
　　首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.
　　方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250.

四、等差数列的应用

例10 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
　　解：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.
例11 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.
　　分析与解答
　　因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.
例12 从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？
　　解：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则
　　若a=1，则b=50，共1种.
　　若a=2，则b=49，50，共2种.
　　若a=3，则b=48，49，50，共3种.
　　…
　　若a=25，则b=26，27，…50，共25种.
　　若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.
　　若a=27，则b=28，29，…50，共23种.
　　…
　　若a=49，则b=50，共1种.
　　所以，所有不同的取法种数为
　　1+2+3+…+25+24+23+22+…+l
　　=2×（1+2+3+…+24）+25
　　=625.
例13 x+y+z=1993有多少组正整数解.
　　　
　　显然，x不能等于1992，1993.
　　所以，原方程的不同的整数解的组数是：
　　l+2+3+…+1991=1983036.
　　本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.
例13 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：①197排在第几行的第几个数？
　　②第10行的第9个数是多少？
　　 1
　　 3 5 7
　　 9 11 13 15 17
　　 19 21 23 25 27 29 31
　　33 35 37 39 43 45 47 49
　　 … …
　　分析与解答
　　①197是奇数中的第99个数.
　　数表中，第1行有1个数.
　　 第2行有3个数.
　　 第3行有5个数…
　　 第n行有2×n-l个数
　　因此，前n行中共有奇数的个数为：
　　1+3+5+7+…+（2×n-1）
　　=［1+（2×n-1）〕×n÷2
　　=n×n
　　因为9×9＜99＜10×10.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.
　　②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为9×9+9=90），它是179.
　　例14 将自然数如下排列，
　　1 2 6 7 15 16 …
　　3 5 8 14 17 …
　　4 9 13 18 …
　　10 12 …
　　11 …
　　…
　　在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？
　　分析与解答
　　不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：
　　1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n
　　即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2
　　用试值的方法，可以求出n=63.
　　又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为
　　
　　1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.
　　把三角阵与左图作比较，可以发现：
　　①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.
　　②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.
　　由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.